TRIGONOMETRÍA

En esta nueva entrada, les voy a resumir los aspectos más importantes de la trigonometría que hemos dado en clase.

¡Espero que les guste!

Como introducción, tenemos que ver lo más básico de este tema que son las razones trigonométricas.👌

Sabiéndonos esto, veremos dos teoremas, que son el del seno y el del coseno. 

TEOREMA DEL SENO📚

Se utiliza para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.

TEOREMA DEL COSENO📚

Se usa cuando se conocen dos lados y el ángulo que se forma entre ellos.

RAZONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS💭

Sen(90-α)= cosα

Cos(90-α)= senα

Tg(90-α)= cotgα

Sen(a+b)= sen(a)·cos(b) + cos(a)·sen(b)     
Cos(a+b)= cos(a)·cos(b) - sen(a)·cos(b) 

Y con esto supimos realizar ecuaciones trigonométricas e identidades trigonométricas.😁

Este tema al principio cuando empezamos con las identidades me costó bastante hacerlas bien, ya que no las entendía muy bien. Pero los triángulos me resultaron bastante sencillos, ya que solo es aplicar dos fórmulas.🆒

Writing

Important things in my life

By Gabriel Marrero

The three most important things in my life right now are my family, my friends and football.

My family consist of my mom, my dad and my brother. They are one of the most important things in my life, because they have been with me all my life and they have taken care of me. We always travelled together and we have also spent the most important days together.

Apart from my family, my friends are a very important aspect for me. They are essential for me and they always makes me smile. We go to parties, playing football and we do a lot of amazings things together. I wouldn't change them for nothing.

  

And the last one is football. I have played this sport since I was eight. I don't know why I love this sport, but it makes me very happy. But now, I'm not playing football because I get injured too often. I hope I could play soon. 

TRABAJANDO CON TRIÁNGULOS

En esta nueva entrada voy a realizar unos triángulos en Geogebra, una aplicación muy interesante y práctica que he descubierto este año, gracias a las clases de mates.💪

Aquí estan los Links hacia Geogebra:

Triángulo conocidos sus tres lados

Triángulo conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

Triángulo conocidos un lado y sus ángulos adyacentes

NOTICIA MATEMÁTICA

¿Es mejor entrenar las matemáticas con juegos de ordenador?

En este nueva entrada, voy a hacer algo especial, comentaré una noticia que me aconteció interesante, este artículo nos hace plantear el mejorar nuestras matemáticas mediante juegos de ordenador. ¿Funciona?😮

Un estudio realizado en la Ghent University (Bélgica) ha comparado el grado de mejora en competencias aritméticas de un  grupo de estudiantes que durante tres semanas practicó diferentes juegos de matemáticas por ordenador con la ejecución de un segundo grupo que realizó tareas matemáticas con ejercicios tradicionales de lápiz y papel.

En este estudio participaron un total de 52 niños a los que se les evaluaron las capacidades de memoria de trabajo, planificación y habilidades visuo-motoras antes y después del entrenamiento. También se les preguntó sobre la diversión lograda con los distintos entrenamientos, y se les realizaron exámenes de matemáticas según su curso académico al principio y al final del experimento.

Los resultados mostraron algunos hallazgos interesantes que podrían marcar la tendencia a utilizar nuevas tecnologías en la mejora de habilidades aritméticas en la población infantil. De forma concreta:

1. Después de tres semanas,  sólo los alumnos que entrenaron con el videojuego de matemáticas puntuaron más en el segundo examen de matemáticas que en el primero, lo que indicaría que mejoraron significativamente más tras el entrenamiento.

2. Además de la mejora en competencias aritméticas, el grupo que entrenó con el juego de ordenador mejoró también en su capacidad de memoria de trabajo, algo que no sucedió en el otro grupo.

3. En cuanto a su experiencia con el entrenamiento, los estudiantes del grupo de entrenamiento con el juego lo describieron más frecuentemente como ‘excitante’, generando una respuesta afectiva positiva, mientras que los miembros del grupo de entrenamiento con ejercicios de lápiz y papel utilizó más frecuentemente el calificativo ‘aburrido’.

A mi manera de pensar esta forma de prácticar las matemáticas, solo le encuentro ventajas bajo mi punto de vista, porque a parte de mejorar tus matemáticas, te diviertes, mejora tu capacidad de trabajo(que es en lo que fallo yo), también desarrollas tu memoria de trabajo... En resumidas cuentas, me parece una fantástica forma de trabajo. También porque me recuerda a cuando estaba en primaria nos hacían jugar a este tipo de juegos. Imaginense que si me gustó, que se lo pedí a mi profe para seguir jugando en mi casa.🙀

¡Espero que les haya resultado interesante!😜

Números Reales

 

NÚMEROS REALES 👀

 En esta entrada vamos a ver el tema de los números reales, relacionado con lo que hemos visto en clase

¡EMPECEMOS!

Lo primero que vimos es como se clasifican estos números y como se representan en la recta real. 🆒

FRACCIÓN GENERATRIZ

Decimales exactos, de los decimales periódicos puros y los decimales periódicos mixtos

 ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO

• Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

•  Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.

 NOTACIÓN CIENTÍFICA

 Esta parte del tema es bastante fácil, porque es un tema ya dado en secundaria y no tiene mucha complicación. 

La notación científica es una forma de escribir los números que acomoda valores demasiado grandes o pequeños ​ para ser escrito de manera convencional.✅

 REDONDEO, TRUNCAMIENTO Y APROXIMACIÓN

   Este tema es otro que no tiene mucho misterio si lo controlas bien, pero da lugar a muchos equívocos porque es fácil confundir los términos. Pero a su vez es un tema muy importante para muchos ámbitos, como por ejemplo en los supermercados a la hora de pagar los productos.

 REDONDEO 

TRUNCAMIENTO

 En el truncamiento de un número decimal se eliminan las cifras a partir de aquellas en la que se realiza el truncamiento.

- Truncamiento por la unidad: se eliminan todas las cifras decimales. 

45,325 se trunca por 45.

- Truncamiento por la décima: tan sólo se deja esta cifra decimal:
45,325 se trunca por 45,3.

 - Truncamiento por la centésima: tan sólo se dejan dos cifras decimales:
45,325 se trunca por 45,32

 Y así sucesivamente...

 APROXIMACIÓN POR DEFECTO Y EXCESO

• Al realizar una aproximación por defecto, se busca el número, con un determinado número de cifras decimales, que es inmediatamente menor que el dado. Ej: π

 - Por defecto es 3,14.

• En cambio, para aproximar por exceso, se busca el número, con las cifras decimales fijadas, inmediatamente mayor. Ej: π

 - Por exceso es 3,15.

 RADICALES😅

 Posiblemente para mi uno de los temas que más me ha costado por ahora, (pero con práctica se saca TODO)

 Cuando no puedes simplificar un número para quitar una raíz cuadrada (o una raíz cúbica, etc.) entonces es un radical.👀

 Ejemplo: √2 (la raíz cuadrada de 2) no se puede simplificar más así que es un radical.

Los radicales tienen infinitas cifras decimales que no se repiten nunca, y por eso son números irracionales.

 ❗Propiedades de los radicales(Very Important)❗

 Operaciones con radicales

PRODUCTO DE RADICALES

COCIENTE DE RADICALES

SUMA DE RADICALES 

 

REFLEXIÓN FINAL

     Lo más importante que he aprendido en esta unidad es que existe una manera de clasificar los números. También a saber realizar radicales y racionalizar, asimismo a operar ecuaciones logarítmicas.

       Lo que me ha causado más dificultades lograr ha sido conseguir realizar  los radicales correctamente. Por consiguiente el resto del temario no me causó ningún problema.

       Yo creo que lo que he aprendido en este tema, es saber las bases, para, en futuros temas realizar problemas más complejos, ya que, todo lo aprendido no debe ser olvidado porque en algún momento de tu vida, tanto personal como en el académico, lo vas a tener que emplear.

       

        Los números reales es la base de todas las mátematicas que hemos visto y veremos a lo largo de nuestra vida. Comenzando desde primaria, con las sumas, restas, divisiones y multiplicaciones. Años más tarde la ESO, entrando con los números enteros, los polinomios, ecuaciones... en todas ellas con los números reales. Y ahora, ya en Bachillerato, seguimos con ellos, ya que son definitivamente las raíces de las matemáticas.

Álgebra

ÁLGEBRA

 En esta última unidad del trimestre nos hemos adentrado en el Álgebra, un tema que llevo dando desde principios de la ESO. Pero cada año, como es normal, se profundiza más en el tema. Dicho tema no me parece muy complicado por ahora, aunque se necesita bastante tiempo y trabajo para realizar las operaciones a la perfección.

A continuación les presentaré una introducción al tema tocando los temas que hemos dado en clase.

¡Empecemos!

 ¿QUÉ ES EL ÁLGEBRA?

El Álgebra es la rama que estudia la combinación de los números con símbolos. Estos símbolos representan valores desconocidos. Aunque una pregunta más sencilla sería “¿qué No es álgebra?” porque te aseguro que el álgebra está presente en tu vida cotidiana mucho más de lo que crees. El álgebra forma parte de tu vida sin que te des cuenta de ello. Hay álgebra en el dinero que utilizas todos los días, tanto el que  guardas como el que gastas, hay álgebra en la construcción de edificios, en las recetas de cocina y en la fabricación de automóviles.

 POLINOMIOS

Los polinomios son expresiones algebraicas que están formadas por constantes o coeficientes y por una serie de variables desconocidas. Los polinomios son finitos -es decir, no pueden estar compuestos por una cantidad interminable de términos- y se vinculan entre sí a través de sumas, restas o multiplicaciones

  
OPERACIONES CON POLINOMIOS

Suma de polinomios

Cuando sumamos diferentes polinomios debemos sumar los coeficientes que tengan el mismo grado, es decir, que sólo podemos sumar coeficientes que tengan el mismo exponente. Por ello, es conveniente ordenar los números para que sea mucho más fácil realizar la suma.

Resta de polinomios

La resta de polinomios se realiza mediante el mismo proceso que la suma de polinomios pero restando el sustraendo al minuendo, o lo que es lo mismo, sumando al primer polinomio el opuesto del segundo. Cabe recordar que hay que ir con cuidado con los signos, ya que cuando restamos un número negativo se convierte en una suma. Puedes verlo en estos ejemplos de operaciones con polinomios.

Multiplicación de polinomios

Para llevar a cabo esta operación debemos multiplicar cada uno de los monomios del primer polinomio, por todos los elementos del segundo polinomio. Después debemos sumar todos los monomios que posean el mismo coeficiente y obtendremos el polinomio resultante. Con este ejemploe entenderás la explicación de las operaciones con polinomios.

División de polimonios

Para realizar la división debemos colocar a la izquierda el dividendo y a la derecha el divisor, tal y como se hacen las divisiones tradicionales. Para empezar hay que dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor (8x³ : 2x²) y el resultado los ponemos como el primer número del cociente (4x). Después multiplicamos este número del cociente por el divisor y se lo restamos al dividendo.

Con el resultado que nos da esta resta, volvemos a realizar la misma operación hasta que se nos quede un resto formado por un polinomio de menor grado que el divisor. En este caso 10x + 3 es el resto porque es un polinomio de primer grado, mientras que el divisor es de segundo grado.

ECUACIONES

Se les llama ecuaciones a las igualdades entre términos conocidos y desconocidos. A dichas igualdades se les conoce con el nombre de ecuaciones, siendo la incógnita el término desconocido (representado con las letras x, y o z) y los números el término conocido. Los términos de una ecuación, por lo tanto, nos ayudarán a resolver los ejercicios pertinentes.

Existen diferentes tipos de ecuaciones. Comentaré ulteriormente las que hemos dado. 

Ecuaciones de primer grado:

Son ecuaciones donde las incógnitas tienen como exponente el valor 1. Resolver una ecuación de primer grado consistirá en hallar los valores de la variable que hacen la igualdad cierta.

Pasos para realizar una ecuación de primer grado:

• Si existen fracciones en la ecuación, reducir los denominadores a común denominador calculando el mínimo común múltiple (m.c.m)
• Suprimir los denominadores
• Quitar paréntesis aplicando la regla de los signos
• Pasar los términos con X a un lado de la ecuación y los números al otro
• Agrupar los términos semejantes y despejamos la X solucionando la ecuación
• Para comprobar la solución podremos sustituir el valor de la x que hemos obtenido en la ecuación
• Nos deberá dar el mismo resultado a ambos lados de la ecuación

Ecuaciones de segundo grado:

Son ecuaciones algebraicas cuyo grado máximo es dos pudiendo ser representada por un trinomio de segundo grado o un binomio de segundo grado.
La expresión de una ecuación cuadrática de una variable es: ax² + bx + c = 0, con a distinto de 0

Dentro de las las ecuaciones de segundo grado, existen las completas y las incompletas.

Ecuaciones de segundo grado completas

En las ecuaciones de segundo grado completas no faltará ningún término estando formadas por tres términos:  un término cuadrático como por ejemplo x2, otro lineal o de primer grado como puede ser la X y un término independiente que puede ser un número. El primer paso para resolver las ecuaciones cuadráticas completas será identificar los cocientes. Seguidamente deberemos sustituir en la fórmula los distintos cocientes y finalmente aplicar la fórmula de las ecuaciones de segundo grado y operar.

Pasos para realizar una ecuación de segundo grado completa:

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Las ecuaciones de segundo grado incompletas son las ecuaciones a las que les falta alguno de sus términos o coeficientes, a excepción del término cuadrático (x²), ya que si este término faltara no sería una ecuación de segundo grado.
Para resolver las ecuaciones se segundo grado incompletas deberemos extraer la X como factor común e igualar a cero cada uno de los dos factores. Finalmente, una de las soluciones siempre es 0 y la otra resultará de despejar la ecuación de primer grado.

INECUACIONES

¿Qué es una inecuación?
Es una expresión que indica que una es mayor o menor que otra. En estas expresiones se utilizan signos como:
- Mayor que (>)
- Menor que (<)
- Mayor o igual que (≥)
- Menor o igual que (≤)

Todas ellas son desigualdades a las que llamamos inecuaciones. La solución de cada una de estas inecuaciones es un conjunto de valores que hace que la desigualdad sea cierta.

Veamos un ejemplo:
En la inecuación 2x + 1 > 9, ¿qué valores pueden tomar las incógnitas para que la inecuación sea cierta?
Damos valores arbitrarios a la incógnita x, obteniendo:
  Para x = 1:           2 · 1 + 1 = 3 < 9
  Para x = 2:           2 · 2 + 1 = 5 < 9
  Para x = 3:           2 · 3 + 1 = 7 < 9
  Para x = 4:           2 · 4 + 1 = 9
  Para x = 5:           2 · 5 + 1 = 11 > 9

Por tanto, la inecuación es cierta cuando sustituimos x por un número mayor que 4.
La solución es x > 4.

Inecuaciones Racionales
Una desigualdad racional es una desigualdad en la cual la variable (letra o literal) se encuentra en el denominador o en el denominador y numerador de una fracción.

 Inecuaciones con Radicales

 Aquí les dejo un ejemplo

 Sistemas de inecuaciones
 Este sistema es lineal, ya que es de primer grado

Este es no lineal, ya que es de segundo grado

Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales

La clave para resolver estos sistemas es seguir el orden para hacer los ceros. Esto se llama escalonar el sistema.

1º Hacemos cero la x de la segunda ecuación reduciéndola con la primera ecuación.

2º Hacemos cero la x de la tercera ecuación reduciéndola con la primera ecuación.

3º Hacemos cero la y o la z de la tercera ecuación jugando con la segunda y la tercera ecuación.

4º Con el sistema escalonado obtenemos las soluciones

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fracción algebraica es una expresión faccionaria en la que numerador y denominador son polinomios. 

Operaciones con fracciones algebraicas

Simplificar fracciones algebraicas

La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.

REFLEXIÓN

Este tema no me ha resultado muy difícil, solo que es muy extenso y necesita mucho trabajo, esfuerzo y tiempo. Ya que casi todo ya lo habíamos dado en el pasado. Al principio me costaba las fracciones algebraicas, pero creo que ya he superado ese obstáculo. Al igual que en los temas anteriores, hacer este tipo de blogs, me hace dar cuenta de lo que estoy haciendo tanto para bien como para mal. 

Y HASTA AQUÍ LA ENTRADA

¡ESPERO QUE LES GUSTE!

Examen por parejas!!

  En esta entrada en el blog, contestaré una serie de preguntas sobre lo que me ha parecido esta diferente forma de hacer un "examen" por parte de la seño de mates.

¡Empecemos!

¿Que te ha parecido el examen por parejas? 

Sinceramente, este tipo de examen, cuando la seño lo comentó, la verdad es que me creó unas cuantas dudas sobre si iba a salir bien, pero todo lo contrario, salió por mi parte bastante bien, no lo digo por la nota que sabemos que no fue muy buena... si no por lo que aprendes con tu compañero.

¿Has aprendido algo nuevo mientras lo hacías? ¿Qué?

La verdad, es que he aprendido bastante, no solo por lo matemático, que siempre aprendes algo nuevo, si no por saber apoyar a tu compañero cuando tiene algún problema, en este caso una operación matemática, también el saber poner nuestras puntos de vista sin "pisarnos" el uno con el otro. Y lo más importante, confiar en tu compañero.

¿Qué te ha parecido trabajar con la pareja elegida?

 Yo realicé el ejercicio con Rubén, y la verdad le agradezco que haya elegido ser mi pareja, ya que, al ser nuevo en este instituto, me está costando un poco esta primera evaluación y el siempre me ha estado ayudando, al igual que otros compañeros... que también les doy un millón de gracias. Bueno, el haber hecho el examen con él fue genial, aunque se le de súper bien las matemáticas, fue estupendo trabajar con él.

¿Estaban ajustadas las preguntas a lo que habíamos trabajado en clase?

Yo creo que las preguntas estaban ajustadas a lo que habíamos hecho en clase, pero, por eso me he dado cuenta que todavía nos queda practicar más, ya que las preguntas eran correctas.

¿Les dio tiempo? ¿Qué quitarías/añadirías...?

No nos dio tiempo finalizar el examen, a nosotros nos faltó un apartado de una pregunta, que se nos hizo un poco largo. Yo añadir, no añadiría nada más porque si no se haría demasiado largo. Y quitar, quitaría algo pero no te sabría decir el que.

En resumen, este examen ha sido una buena prueba y también divertida, si fuera por mí, lo haría más veces a lo largo del curso. Pero cada vez con parejas distintas para al final ver con quien nos ha ido mejor.