Álgebra

ÁLGEBRA

 En esta última unidad del trimestre nos hemos adentrado en el Álgebra, un tema que llevo dando desde principios de la ESO. Pero cada año, como es normal, se profundiza más en el tema. Dicho tema no me parece muy complicado por ahora, aunque se necesita bastante tiempo y trabajo para realizar las operaciones a la perfección.

A continuación les presentaré una introducción al tema tocando los temas que hemos dado en clase.

¡Empecemos!

 ¿QUÉ ES EL ÁLGEBRA?

El Álgebra es la rama que estudia la combinación de los números con símbolos. Estos símbolos representan valores desconocidos. Aunque una pregunta más sencilla sería “¿qué No es álgebra?” porque te aseguro que el álgebra está presente en tu vida cotidiana mucho más de lo que crees. El álgebra forma parte de tu vida sin que te des cuenta de ello. Hay álgebra en el dinero que utilizas todos los días, tanto el que  guardas como el que gastas, hay álgebra en la construcción de edificios, en las recetas de cocina y en la fabricación de automóviles.

 POLINOMIOS

Los polinomios son expresiones algebraicas que están formadas por constantes o coeficientes y por una serie de variables desconocidas. Los polinomios son finitos -es decir, no pueden estar compuestos por una cantidad interminable de términos- y se vinculan entre sí a través de sumas, restas o multiplicaciones

  
OPERACIONES CON POLINOMIOS

Suma de polinomios

Cuando sumamos diferentes polinomios debemos sumar los coeficientes que tengan el mismo grado, es decir, que sólo podemos sumar coeficientes que tengan el mismo exponente. Por ello, es conveniente ordenar los números para que sea mucho más fácil realizar la suma.

Resta de polinomios

La resta de polinomios se realiza mediante el mismo proceso que la suma de polinomios pero restando el sustraendo al minuendo, o lo que es lo mismo, sumando al primer polinomio el opuesto del segundo. Cabe recordar que hay que ir con cuidado con los signos, ya que cuando restamos un número negativo se convierte en una suma. Puedes verlo en estos ejemplos de operaciones con polinomios.

Multiplicación de polinomios

Para llevar a cabo esta operación debemos multiplicar cada uno de los monomios del primer polinomio, por todos los elementos del segundo polinomio. Después debemos sumar todos los monomios que posean el mismo coeficiente y obtendremos el polinomio resultante. Con este ejemploe entenderás la explicación de las operaciones con polinomios.

División de polimonios

Para realizar la división debemos colocar a la izquierda el dividendo y a la derecha el divisor, tal y como se hacen las divisiones tradicionales. Para empezar hay que dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor (8x³ : 2x²) y el resultado los ponemos como el primer número del cociente (4x). Después multiplicamos este número del cociente por el divisor y se lo restamos al dividendo.

Con el resultado que nos da esta resta, volvemos a realizar la misma operación hasta que se nos quede un resto formado por un polinomio de menor grado que el divisor. En este caso 10x + 3 es el resto porque es un polinomio de primer grado, mientras que el divisor es de segundo grado.

ECUACIONES

Se les llama ecuaciones a las igualdades entre términos conocidos y desconocidos. A dichas igualdades se les conoce con el nombre de ecuaciones, siendo la incógnita el término desconocido (representado con las letras x, y o z) y los números el término conocido. Los términos de una ecuación, por lo tanto, nos ayudarán a resolver los ejercicios pertinentes.

Existen diferentes tipos de ecuaciones. Comentaré ulteriormente las que hemos dado. 

Ecuaciones de primer grado:

Son ecuaciones donde las incógnitas tienen como exponente el valor 1. Resolver una ecuación de primer grado consistirá en hallar los valores de la variable que hacen la igualdad cierta.

Pasos para realizar una ecuación de primer grado:

• Si existen fracciones en la ecuación, reducir los denominadores a común denominador calculando el mínimo común múltiple (m.c.m)
• Suprimir los denominadores
• Quitar paréntesis aplicando la regla de los signos
• Pasar los términos con X a un lado de la ecuación y los números al otro
• Agrupar los términos semejantes y despejamos la X solucionando la ecuación
• Para comprobar la solución podremos sustituir el valor de la x que hemos obtenido en la ecuación
• Nos deberá dar el mismo resultado a ambos lados de la ecuación

Ecuaciones de segundo grado:

Son ecuaciones algebraicas cuyo grado máximo es dos pudiendo ser representada por un trinomio de segundo grado o un binomio de segundo grado.
La expresión de una ecuación cuadrática de una variable es: ax² + bx + c = 0, con a distinto de 0

Dentro de las las ecuaciones de segundo grado, existen las completas y las incompletas.

Ecuaciones de segundo grado completas

En las ecuaciones de segundo grado completas no faltará ningún término estando formadas por tres términos:  un término cuadrático como por ejemplo x2, otro lineal o de primer grado como puede ser la X y un término independiente que puede ser un número. El primer paso para resolver las ecuaciones cuadráticas completas será identificar los cocientes. Seguidamente deberemos sustituir en la fórmula los distintos cocientes y finalmente aplicar la fórmula de las ecuaciones de segundo grado y operar.

Pasos para realizar una ecuación de segundo grado completa:

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Las ecuaciones de segundo grado incompletas son las ecuaciones a las que les falta alguno de sus términos o coeficientes, a excepción del término cuadrático (x²), ya que si este término faltara no sería una ecuación de segundo grado.
Para resolver las ecuaciones se segundo grado incompletas deberemos extraer la X como factor común e igualar a cero cada uno de los dos factores. Finalmente, una de las soluciones siempre es 0 y la otra resultará de despejar la ecuación de primer grado.

INECUACIONES

¿Qué es una inecuación?
Es una expresión que indica que una es mayor o menor que otra. En estas expresiones se utilizan signos como:
- Mayor que (>)
- Menor que (<)
- Mayor o igual que (≥)
- Menor o igual que (≤)

Todas ellas son desigualdades a las que llamamos inecuaciones. La solución de cada una de estas inecuaciones es un conjunto de valores que hace que la desigualdad sea cierta.

Veamos un ejemplo:
En la inecuación 2x + 1 > 9, ¿qué valores pueden tomar las incógnitas para que la inecuación sea cierta?
Damos valores arbitrarios a la incógnita x, obteniendo:
  Para x = 1:           2 · 1 + 1 = 3 < 9
  Para x = 2:           2 · 2 + 1 = 5 < 9
  Para x = 3:           2 · 3 + 1 = 7 < 9
  Para x = 4:           2 · 4 + 1 = 9
  Para x = 5:           2 · 5 + 1 = 11 > 9

Por tanto, la inecuación es cierta cuando sustituimos x por un número mayor que 4.
La solución es x > 4.

Inecuaciones Racionales
Una desigualdad racional es una desigualdad en la cual la variable (letra o literal) se encuentra en el denominador o en el denominador y numerador de una fracción.

 Inecuaciones con Radicales

 Aquí les dejo un ejemplo

 Sistemas de inecuaciones
 Este sistema es lineal, ya que es de primer grado

Este es no lineal, ya que es de segundo grado

Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales

La clave para resolver estos sistemas es seguir el orden para hacer los ceros. Esto se llama escalonar el sistema.

1º Hacemos cero la x de la segunda ecuación reduciéndola con la primera ecuación.

2º Hacemos cero la x de la tercera ecuación reduciéndola con la primera ecuación.

3º Hacemos cero la y o la z de la tercera ecuación jugando con la segunda y la tercera ecuación.

4º Con el sistema escalonado obtenemos las soluciones

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fracción algebraica es una expresión faccionaria en la que numerador y denominador son polinomios. 

Operaciones con fracciones algebraicas

Simplificar fracciones algebraicas

La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.

REFLEXIÓN

Este tema no me ha resultado muy difícil, solo que es muy extenso y necesita mucho trabajo, esfuerzo y tiempo. Ya que casi todo ya lo habíamos dado en el pasado. Al principio me costaba las fracciones algebraicas, pero creo que ya he superado ese obstáculo. Al igual que en los temas anteriores, hacer este tipo de blogs, me hace dar cuenta de lo que estoy haciendo tanto para bien como para mal. 

Y HASTA AQUÍ LA ENTRADA

¡ESPERO QUE LES GUSTE!